Открытый урок математики в 8 "Б" классе

ТЕМА.

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Цели урока:

 Научить учащихся  работать над условием задачи, решать простейшие задачи  с    помощью квадратных уравнений.

 Содействовать выработке умений и навыков проводить анализ условия  задачи, сравнивать и сопоставлять данные и неизвестные, находить  между ними связь.

Способствовать развитию логического мышления, развитию   правильной математической речи  (УСТНОЙ И ПИСЬМЕННОЙ),

ХОД УРОКА.

1.Орг. момент

Приветствие “Здравствуйте!”

 Учащиеся поочередно касаются одноименных пальцев рук своего соседа, начиная с больших пальцев и говорят:

желаю (соприкасаются большими пальцами);

успеха (указательными);

большого (средними);

во всём (безымянными);

и везде (мизинцами);

Здравствуйте! (прикосновение всей ладонью)

- Настал новый день. Я улыбнусь вам, и вы улыбнитесь друг другу. И подумайте: как хорошо, что мы сегодня здесь все вместе. Мы спокойны и добры, приветливы и ласковы. Мы все здоровы. Глубоко вздохните и выдохните...

Выдохните вчерашние обиды, злобу, беспокойство. Забудьте о них. Вдохните в себя свежесть и красоту белого снега, тепло солнечных лучей, чистоту рек.

Я желаю вам хорошего настроения!

"Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: "Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?”

А сам думает: "Скажет живая – я ее мертвлю, скажет мертвая – выпущу”.

Мудрец, подумав, ответил: "Все в твоих руках”.  Да , только от вас зависит с каким багажом знаний вы придете к концу урока, с каким настроением . Я желаю вам  успехов.

  Актуализация опорных знаний.

Математика - это история, история развития человеческой мысли. Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

Итак, тема нашего урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

 «Всякая хорошо решенная математическая  задача доставляет умственное наслаждение.» Эти слова Г. Гессе  станут эпиграфом нашего урока. Надеюсь, что вы действительно получите удовольствие от результатов вашего труда на уроке.

2.Повторение и закрепление пройденного материала.

Сначала проверим, как вы усвоили пройденный материал.

Чтобы быстро считать, 
Задачи без труда решать, 
Нам надо себя тренировать. 
В математике любая работа 
Не обходится без устного счёта 

1) Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 2х2-х+3=0;        

б) 4х+3х2-1=0; 

в) -7х+х2-0,5=0;    

г) 0,7-0,5х-х2=0; 

д) х2+ 45 +3х=0;  

е) 5х2-7х+24=0  

ж) 12х+х2- 4=0;     

з) 6х2+7х=0;

и) х2+5=0;             

к) 7,2х2-4=0   

2) Укажите среди данных уравнений полные, неполные, приведенные квадратные уравнения.

3) Сколько корней имеет квадратное уравнение?

1.7х2+2х+5=0   

д= -136

2. х2+6х+9=0  Д=0

3. х2+8х-3=0   Д=52

Квадратные уравнения применяются в различных областях нашей жизни, обратите ваше внимание на слайды.

Но сегодня мы вернемся к истории

 В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Прежде, чем решать задачи с помощью уравнений , давайте повторим алгоритм :

1.Анализ условия

2.Введение неизвестных величин

3.Установление зависимости между данными задачи и неизвестными величинами

4.Составление уравнения

5.Решение уравнения

6.Запись ответа

 Если в уравнении дискриминант положителен, решениями задачи могут быть оба корня уравнения. Иногда бывает, что по смыслу задачи ей удовлетворяет лишь один из корней квадратного уравнения

  Задачи часто облекались в стихотворную форму. Давайте решим одну из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:        

Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам...

Стали прыгать, повисая...

Сколько ж было обезьянок,

Вы скажите, в этой стае?

  Все вместе разбираем задачу, один ученик у доски.

Решение: Нам необходимо узнать сколь было всего обезьян? Значит,  х обозначим количество обезьян. По условию восьмая часть забавлялась на поляне, значит, берем восьмую часть от общего количества обезьян - это будет 

 х, да еще в квадрате (х/8 )2. К этому количеству добавим еще, 12 обезьян,  которые прыгают по лианам. Получим следующее уравнение: (х/8)2 +12=х.

Решим это уравнение:

Х1=16,

 Х2=48.

Два корня удовлетворяют условию задачи.

Поэтому в стае могло быть 16 или 48 обезьян.

Ответ: 16 или 48 обезьян.

           Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н. э. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются и  неполных квадратных уравнений, и полные квадратные уравнения.

 Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. В Древнем Вавилоне образованные люди (это были жрецы и чиновники) умели решать задачи на определение длины и ширины прямоугольника по площади и периметру. Давайте мы побудим  людьми Древнего Вавилона и решим пару задач.

Задача №1

Найдите стороны прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см2.

Решение: Пусть х см ширина прямоугольника, тогда длина прямоугольника (х+4) см. По условию задачи площадь

прямоугольника равна 60 см2 . Составим и решим уравнение:

х(х+4)=60,

х2 +4х-60=0,

 D=16+4×60=16+240=256,

Х1=

=6,  Х2 =

=-10.

Корень равный -10 условию задачи не удовлетворяет, т.к. ширина не может быть отрицательным числом.  Следовательно, ширина равна 6м, а длина равна х+4=6+4=10м.

Ответ: 6м, 10 м.

  А теперь давайте потренируемся в составлении уравнений по условию задачи, а также закрепим навык решения задач с помощью квадратных уравнений.
Дается 4 задания. Два  задания на составление уравнения по условию задачи, а два задания на решение задачи с помощью квадратного уравнения.

^ 1. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 256. Найдите эти числа.

1) х( х – 5) = 256; 2) х(х + 5) = 256; 3) 2х2 + 5 = 256; 4) 2х – 5 = 256.

^ 2. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одна из сторон прямоугольника на 12 см больше другой. Площадь этого прямоугольника равна 405 см. Найдите стороны прямоугольника.
1) х( х + 12) = 405 2) х(х - 12) = 405 3)2х - 12 = 405 4) 2х + 12 = 405

^ 3. Решите задачу. Сумма смежных сторон прямоугольника равна 17 см, а его площадь  60 кв.см. Найти стороны прямоугольника.
1). 3 см и 20 см 2). 8 см и 15 см 3). 12 см и 5 см 4). 8 см и 6 см

^ 4. Решите задачу. Скорость моторной лодки в стоячей воде 7 км/ч. Время, затраченное на движение лодки на 24 км по течению и на 24 км против течения равно 7 часам. Найти скорость течения реки.

1). 2 км/ч 

2). 6 км/ч 3). 0,5 км/ч  4). 1 км/ч.

 Проверим решение: Правильные ответы: 1) 2;   2) 1;   3) 3;  

4) 1взаимопроверка. Критерии оценивания : два правильных ответа-«3»

Три  правильных ответа- «4»

 Четыре правильных ответа- «5»

  Домашнее задание № 211 (2), 212 (2),  Итог урока

ЗАДАЧИ, КОТОРЫЕ РЕШАЮТСЯ С ПОМОЩЬЮ  УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ РАВНО 132. НАЙТИ ЭТИ ЧИСЛА,

  ОДНО ИЗ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ НА 7 МЕНЬШЕ ДРУГОГО, А ИХ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО330. НАЙТИ ЭТИ

ЧИСЛА, ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 21 см2, А ЕГО ПЕРИМЕТР  РАВЕН 20 см, НАЙТИ СТОРОНЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

 ОДИН ИЗ КАТЕТОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НА   2 см БОЛЬШЕ ДРУГОГО, А ГИПОТЕНУЗА РАВНА 10 см.  НАЙТИ КАТЕТЫ.

ОДНА ИЗ СТОРОН ПРЯМОУГОЛЬНИКА НА 5 см БОЛЬШЕ ДРУГОЙ, А ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА РАВНА 24 см2.  НАЙТИ ПЕРИМЕТР ПРЯМОУГОЛЬНИКА

  СТОРОНЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКА ОТНОСЯТСЯ КАК 2:3, А ЕГО ПЛОЩАДЬ РАВНА 24 см2. НАЙТИ

СТОРОНЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

  В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ОДИН ИЗ КАТЕТОВ НА 3 см МЕНЬШЕ ГИПОТЕНУЗЫ, А ДРУГОЙ НА 6 см МЕНЬШЕ ГИПОТЕНУЗЫ. НАЙТИ ГИПОТЕНУЗУ.